１．８．２　ローレンツ変換

　いちいち座標から対応を読み取るのは大変ですです。　そこでこの時空図を基に、S-S'の間の座標変換式を求めてみましょう。


任意の世界点PをS系の座標を用いてP(ｘ,ct）とします。

　　　　　　


P点を通るのS'系での同一時刻を点線で表しました。ｃｔ軸との交点をTとします。

　　　　　　　　　



次にこの同一時刻線をS系の座標を使ってで記述しましょう。

　　　　　

まず、TのS系での高さ（=ｃｔ座標値）を求めます。


　　　　　


　　　　よって、　　

一方、ct軸上で重なるS'系時刻T'との関係は図７−１０より

　　　　よって　　


　　　　　

これに先ほど求めた

　　

を代入すると

　　

よって、求めるｔ’の変換式は

　　

となります。



同様に、空間軸のｘ’に関する変換式を求めて見ましょう。

　　　　　

導出方法はｔ’の場合と全く同じです。（ｘの方はｃが掛かっていない事に注意）

　

求める変換式は

　

これｔ’,ｘ’の変換式をまとめて書いておきます。これが、かの有名なローレンツ変換の式です。

　　
　　

共通の項を

　　

と置き、速度ｖに依存するγ係数（ガンマ係数）として、括り出して表記すると、

　　
　　

となります。

また、逆変換式（ローレンツ逆変換式）は

　　
　　

となります。これは、S-S'系の対応関係は、運動方向の左右が逆なだけ、つまり相対速度が＋/−の差でしか有りません。　従って、ｘ、ｘ’と、ｔ、ｔ’を入れ替えて速度をマイナス符号にするだけで、逆変換式を導き出せます。


　先々の準備のため、ローレンツ変換を行列化しておきましょう。

まず始めに、時間軸に合わせてctを一つの次元として扱います。
　　
　　

ここで、

　　　　　，　
と置くと

　　
　　

これを行列形式に置き換えます。

　　

さらにローレンツ変換の係数部分を二次元の行列Ｌとして括り出し、指標を用いた成分表示に変えて見ましょう。

　　 　　　ただし、　

アインシュタインの縮約の規則を使い、Σを省略します。

　　

この規則は『一つのの項に同じ指標（インデックス）が二度書かれていたら、その指標に関して次元分全てのΣを取る』と言うものです。


　ローレンツ逆変換式は係数Ｌの逆行列を使い、

　　　　　　ただし、　　

と書く事が出来ます。

尚、ローレンツ係数の逆行列関係を参考までに

　　

Ｅは行列風に言えば単位行列です。



　進行方向に垂直な座標軸を追加して、ローレンツ変換の係数を４次元分全て表すと、

　　

となります。

うむ。　ローレンツ変換で表されるS'系時空間軸の傾きを、実際に見てみたくなったぞ。 よし、そのための実験装置を、早速作って見よう。 まず、細長い棒状のケースにLEDをずらっと配置。 　　　　　　 LED一個一個に、プログラム式電子タイマーを取り付けて、一定の時間間隔でLEDを点滅させられるようにしよう。 さあ、これで完成。 まずは、全部点燈させてみよう。 　　　　　　 よしよし。　ちゃんと光っているな。 LEDの点燈間隔をプログラムしてみよう。　時間方向と空間方向のベクトルを矢印で表示させるものだ。 よし、できた。　試しに、手に持って、振ってみる。　残像を見るために部屋を暗くして、　せーの、フン！ 　　　　　 どうかな。　一瞬だが、空間軸の長さベクトルが半径方向に、時間軸の時間ベクトルが円周方向に、それぞれ浮かび上がって見えたと思うが？　見えたかな。 これで良し。次の確認は撮影装置の方だ。　棒状LEDケースを静止した状態でカメラに撮影してみる。　つまりS系側に在るLEDの撮影となる。　これがそのLEDケース撮影用のアレイカメラだ。 　　　　　　　　 小型CCDカメラが横一列にたくさん並んでおり、分担して目の前をスポット撮影する。　各カメラは、時刻合わせをした独自の電子時計を持ち、一定間隔でコマ取りを行う。 画像を合成するときに、時間軸と空間軸のベクトルを単位ベクトルとして長さを揃えたい。つまり、 　　　　　　　　　　　　　|ｃt|＝|ｘ|＝１ｍ となるようにコマ取りしたい。 空間軸方向はLED１６個を使って点燈表示している16個分の長さは１．１４ｍ。そのうちベクトルとして点燈させているLEDは１４個、その長さは単位ベクトルとするため１ｍだ。 時間軸の方も単位ベクトルとして１ｍに揃えたい。　そのためには、時間ベクトル14回分のコマ取り総時間を１[ｍ]/C[ｍ/秒]秒間とすればよい。　 　　　　　　コマ取り間隔＝１/１４C＝１/（１４・３×１０-8） 　　　　　　　　　　　　　　＝約2．4×１０-10[秒] つまり、０．２４[ｎ秒]間隔で１４回シャッターを切ることになる。さらに残りのLED分も含めると１回の撮影で１６回シャッターを切ればよい。 　撮影が終わったら、それぞれのカメラで撮れた画像を横につなぎ、さらに時間順に下から上に並べて合成表示してみよう。 　　　　　　　　　 おお！　見事に時間軸を構成する時間単位ベクトルと空間軸の長さ単位ベクトルが表示されている。　さすがに手で振った場合と比べ、格段に鮮明に写し出されている。うむ、実験装置の調整はこれで完了だ。 　そうだ。せっかくだから、この実験装置に名前を付けておこう。ウーン・・・よし、『メイの時空間座標単位ベクトル表示装置』としよう。　どうだ、私の名前が入った、とてもかっこいい名前だろう。 さて、いよいよS'系の時空間軸ベクトルを表示させる実験だ。 実験内容は、このアレイカメラの前をLEDケース、つまり、『メイの時空間座標単位ベクトル表示装置』を高速で通過させる。　つまり、LED側がS'系となる。 あとは、先ほどの静止時と同様、カメラでコマ取りをして画像を合成表示させるだけだ。 よし、実験開始。　アレイカメラ撮影開始。　LED移動スタート！　 　　　　　　　通過3秒前。 　　　　　　　2秒前。 　　　　　　　1秒前。 　 　　　　　　　通過！ よし、カメラ停止！　実験終了。 さてさて、上手く撮れているかな？ 　　　　　　 おお！　すばらしい。　何と、グラフ用紙の上でしか見ることが出来なかったS'系の時間軸と、空間軸がくっきりと撮れている。　棒状LEDケースそのものはローレンツ収縮で縮んでいるが、空間軸の単位ベクトルの長さ自体は１ｍからやや伸びている。 全く、ローレンツ変換の論理的な予測と同じだ。ローレンツ収縮や時間の遅れが手にとるように分かる映像だ。　 よし。　実験は成功。　この実験装置、そう『メイの時空間座標単位ベクトル表示装置』は今後色々と利用できそうだ。　大事に取っておこう。

それでは座標変換をもとに、ユークリッド空間の構造から探ってみましょう。　空間の重要な要素として”距離”はどのように定義されているのでしょうか。

まずは、２次元空間のデカルト座標Xで考えます。　二点間の微小距離をΔｓとすると、距離の二乗、は以下の通りピタゴラスの定理を使って表されます。

　やはり距離は√５です。　当たり前ですか？　そうは言っても緑の座標を作るときに、正確に青の元の座標をコピーし、上手くずらして重ねなければなりませんでした。　結構手間なんです。


　座標をいちいち目で読み上げるのは大変です。変換式を使いましょう。　緑のｘ座標から青い元のX座標への変換式（厳密には、元の座標に戻すことを逆変換と呼び、逆変換式ということなります）は、下に２、右１にずらした位置ですから

　　　　

となります。　線分の両端の位置を元の座標に変換して、距離を求めても同じになることは、確かめるまでも無く明白ですね。

　ところで、別の座標系で読んだ値を、元の座標系に読み直す場合の変換式は、以下のように関数を使って一般化（一般座標変換）されます。　パラメータは変換前の座標セットです。

　　　　

イメージとしては、以下の図の様にｘ^１，ｘ^２を二次元の変数として三次元目にX^１，X^２の関数がそれぞれ定義されているといった所でしょうか。

　　　　

　　　　

やはり√５です。　当たり前ですね。

この場合の元の座標に戻す変換式はどうなるのでしょうか？　左回りにだけ回転させた座標からの変換式は

　　　　　　　　ただし　　　


試しにこれを使って、ｘ座標上の右上端のメモリを、元のX座標に逆変換してみましょう。

　　　　

X座標のメモリ（４，２）が求まります。同様に左下端のメモリは（２，１）となり、やはり距離は√５となります。

　このように、座標が変ると当然メモリの読みは変わってきますが、距離は不変です。　当たり前だ！と言われそうですが、この不変という事が後々重要な意味を持つようになります。



１．８．５　計量


　続いて座標軸が縮むとどうなるのでしょか。以下の様にメモリが細かくなります。この座標で線分を測るとQ（４，４）、P（２，２）なので距離は２√２と大きくなってしまいます。
　『こんな座標、使えません！』と言われそうです。　ところがｘ²座標が縮んでいるだけなので、ｘ²軸の読みを

　　　　　　　　　　　　　　　『１/２に補正』

するだけで距離は測れます。　特別の手間が増える分けではありません。

元のＸ座標への変換式はもちろん、以下の様になります。

　　　　　

元の座標に変換して距離を確認してみましょう。


　　　　


伸縮の場合は、ずらしたり、回転させた場合とくらべ『補正』が必要となりました。


　次は座標を傾けてみましょう。
図でｘ²座標の傾きは４５°です。

S²＝(0･2)²＋1²＝1となってしまいます。もちろん元のX座標ではS²＝2になりますから、この補正方法ではだめですね。


　正しい補正方法を探ってみましょう。
この場合の逆変換式はｘ²座標の傾きをθとすると

　　

tanθは定数です。　４５°の場合は１なのですがａとしましょう。


　　

a=1と置いて、早速検算してみましょう。
�凅¹=0, �凅²=1ですから、

　　�儡²＝0²＋0＋2･1²＝2

となり、合っています。
念のため、その前のケース、�凅¹=1, �凅²=1の場合もS²＝5になるか、確認してみましょう。


　　�儡²＝1²＋2+2･1²＝5

となりました。　みごと、合格です。
ところで

　　

という式は

　　
　　ただし、

というように、整理出来ます。
さらに�凾�をベクトル、定数部ｇを行列のそれぞれ要素と見なすと、

　　,　

と表せます。
ｇは計量（メトリック）テンソルあるいは基本テンソルと呼ばれ、空間の距離を定義する行列です。一般相対性理論を理解する上で重要な概念であり、今後しばしば出てきます。

今回の例でいうと、

　　　『x²座標がθ=４５°傾いた座標で表される2次元空間の計量は

　　　　　　　　

　　　です』

というような使われ方になります。
さらに一般相対性理論でしばしば（と言うよりは、しょっちゅう）現われる表記法として、

　　　　　　　　　　　
を
　　　　　　　　　　　

と省略して表記します。これはアインシュタインの『縮約の規則』というものです。
『項の中でベクトルなり、行列の同じ添字が上下に出てきたら、積和を取る』というものです。随分、すっきり見えますね。



　『計量はいいとして、わざわざこんな、へんてこりんな座標で計って何がうれしいのか？』と言われそうです。　その通りで、この場合は特にうれしくも有りません。　物理的な意味は特に有りません。　今後、時空座標を扱う上での数学トレーニングと思ってください。

　ところで、今までに出てきた逆変換式をもう一度並べて見てみましょう。

�@座標の平行移動 （ずらし）	�A座標の回転	�B座標の伸縮	�B座標の傾け

実は、これらの式は以下の様に行列の式で表現できます。


　　　　

実際に当てはめて見ましょう。

�@座標の平行移動 （ずらし）	�B座標の回転

�B座標の伸縮	�C座標の傾け（斜交座標）

それぞれ上手く

　　　　　

という行列の１次式の形に納まります。

　このような形に変換式を書き表せる変換をアファイン変換と呼びます。　日常、目に映る物の形は視点により変形します。　この見た目の変形は、アファイン変換の一例です。

　先ほど、これ等の座標変換に物理的な意味は無いと言いましたが、実用面ではいろいろと意味があります。　例えば、コンピュータグラフィックスなどではアファイン変換を利用して、立体画像を計算しています。　いわゆる３DのCGゲームなどが身近な応用例でしょうか。　道理でこれらの変換例は、見覚えが有った？わけですね。

視点が離れて、物の大きさが小さく見えたとしても、その物の長さが縮んだわけでは有りません。

そんな常識的な事をいちいち強調するなと言われそうです。　しかし常識的には似たり寄ったりの、すれ違いながら眺めた場合の変換が、ローレンツ変換だったわけです。　そして、そのローレンツ変換では、まさに長さが縮んでしまっていました。



一般に変換式はアファイン変換の様に線形とは限りません。　スプーンの歪んだ写像の場合の様に、どう考えても曲線座標に変換せざるを得なくなる場合が出てくるでしょう。　変換式は連続でかつ、互いに一価（変換先が２点以上に対応しない）でありさえすれば成り立ちます。　その場合のｘ座標は曲線座標系となります。



一般座標変換の例として極座標への変換を考えましょう。

この場合の変換式は

　　　　　　

です。 極座標ｘでの読みは

　　　　　，　

となります。　極座標ｘで計った距離は

　　　　

やはり距離は一致します。　『角度方向の成分ｘ２が消えているから、だまされた様な気分！』ですね。

　この極座標も直行座標の一種で、曲線直行座標というものの一つです。　しかし極から遠ざかるほど、角度方向の成分ｘ²はメモリ幅が伸びて、長さの値が小さくなってしまいます。　つまり、場所によってメモリが違うので、任意の２点間の距離を計るのは難しくなります。

このような場所によりメモリの巾が変わってくる場合の距離の測り方を探って見ましょう。


　ｘ座標上の任意の点Ｐの近傍で微小距離をｄｓ考えます。　『先ほどの説明で、Ｐ−Ｑ間のΔｓも微小距離ではなかったのか？』とおっしゃられそうです。

そうです。　その通りです。　説明の都合上しっかり座標を座標軸のメモリで読んでおりました。　つまり微小距離というふれこみにもかかわらず、目に見える？大きさのΔｓだったわけです。

しかし、今後曲線座標を扱う上では、座標の曲がり具合が無視できるほどの微小さが必要となります。　そのため今回のｄｓは微積分で出てきた、いわゆる極限的に小さい無限小距離のｄｓです。

あまりにも小さいので、ｄｓを継ぎ足して曲線を構成するこが可能となるような、極小直線です。　これを『線素』と呼びます。

　前置きが長くなりましたが、ｘ座標上の線素ｄｓの長さをを求めてみましょう。
曲線座標系であっても、Ｐ点近傍では座標は直線とみなせるので、線素に対応するｘ座標上の微小距離と、X座標上の微小距離とは等しくなります。　よって、まずはX座標（直行座標系）での微小距離を求めます。

ピタゴラスの定理を使って

　　　

と置きます。

さらに，は、それぞれ，を変数とする関数ですから下の図のようにｄｘの全微分として表せます。　


　　　　　　　　　



　　
　　　

よって

　

展開して

　

ｄｘの項で整理し直すと



　　

ただし



さらにアインシュタインの縮約の規則を使って

　

　　　　　　　・・・（アインシュタインの縮約の規則は、添字が上下に出る項は積和を取る　
　　　　　　　　　　　　　例：　　　　）

　


ここでのｇは微小領域における計量です。これが全域に渡って分ればその座標系での距離が求められる事になります。

早速、極座標の計量を求めてみましょう。

変換式は

　　

です。　これを計量の一般式に代入すると




が求まります。
これにより距離の二乗は

　

と求められます。


先ほどのアファイン変換における座標の伸縮例と似ています。　ただし伸縮の係数がｘ¹軸、つまり極からの距離に比例する点が異なってきます。　

　この計量を求める一般式を使って、前出のそれぞれの座標での計量を求めてみましょう。

まず、ずらし（平行移動）の場合

変換式は
　　　
計量は


となります。

この調子で、全部を整理してみます。

座標変換名	逆変換式	計量
変換元	ユークリッド空間 [デカルト座標]
�@座標の平行移動 （ずらし）
�A座標の回転
�B座標の伸縮
�C座標の傾け
�D極座標変換

時�@平行移動と�A回転で計量は変換前と同じであることに注目してください。変換前と変換先は同じメモリ巾を持つ直線直行座標だからです。つまり座標系自身に変形が無いため同じ計量を持つわけです。

これを3次元に拡張し、後々のために、3次元ユークリッド空間の計量として


　　　

と定義しておきます。



１．８．６　擬ユークリッド空間


ミンコフスキー時空図では、時間軸<ｔ>を無理やり<ｃｔ>とし、長さの単位を持つ軸に変更しました。　そのあげくに『図の表現上は同じでしょ』です。　なんだか怪しいですね。　

時間と長さが、ごっっちゃ混ぜになってしまった空間の”距離”って何なんでしょうか？

試しにS系の座標Xで原点OとP間のユークリッド空間での距離の定義で�儡を測って見ましょう。メモリを大雑把に読みます。多少の誤差は気にしないでください。

　尚、ミンコフスキー時空での座標の４次元表示（ｃｔ,ｘ^１,ｘ^２,ｘ^３）に備えて、今まで（ｘ,ｃｔ）と表記していた要素位置を、（ｃｔ,ｘ）と入れ替えておきます。

S系の座標X ではPの読みは（３０，３０）です。　よって距離を�儡とすると

　　　　

一方、緑のｓ’系座標ｘでのPの読みは約（２１，２１）、これはローレンツ変換

　　　　，　

によって求められる値でもあります。　同様にｓ’系座標ｘでの距離を計算すると

　　　　


計算で確かめるまでも無く、それぞれの距離は異なります。　これはいったいどういう事でしょう。

先ほど確かめた、アファイン変換などの座標変換では、距離は不変でした。　万が一異なる場合は、変換式が誤っていた場合でしか有り得ません。

と言う事は、ローレンツ変換が間違っているのでしょうか？　いえいえ、その考えは本末転倒です。　ミンコフスキー時空では最初にローレンツ変換ありきですから。
疑わしきは距離の定義となります。　なぜなら、時間と空間を無理やり混ぜてしまったのですから。


S系の座標Xの読み（３０，３０）とｓ’系座標ｘの読み（２１，２１）との間で共通の量は何なんでしょうか？

ちょっと考えると　３０−３０＝０、　２１−２１＝０　で引き算した値は共通の量です。

確かにS系で４５°の線上は光の軌跡であり、ｓ’系も光速度不変により、ｘ’＝ｃｔ’となるように座標が傾いています。　ひょとしたら距離：Sは　ｃｔ−X　なのでしょうか？

さらに考えると、ユークリッド空間での距離Sはそれぞれ二乗してました。　それにならって、それぞれを二乗した量の９００−９００＝０、４４１−４４１＝０　とも考えられます。

以下のように別のの点Pで確認してみましょう。

やはり二乗する方のSでは　０−９００＝−９００、　１２１−１０２４＝約−９００　となって上手く一致します。　

この様にで定義される距離の様な”量”であるｓは慣性系間で共通の不変量になります。　相対性理論ではこの『距離もどき』を四次元距離と呼びます。　また微小距離：ｄｓも四次元距離を構成する線素となります。

この擬ユークリッド空間の計量（メトリックテンソル）はミンコフスキー計量と呼ばれ4元分全部書くと

　　

となります。


４次元の座標軸を

　　

と表現すると、S系の座標Xとｓ’系座標ｘとの関係は
　　　　　　　　　　

ローレンツ変換、ローレンツ逆変換式でそれぞれ

　　

と表され、四次元距離：ｄｓの二乗は

　　

となり、Ｓ系、Ｓ’系共通不変の量となります。




　以下にユークリッド空間と比較してみました

座標変換名	逆変換式	計量
変換元	ミンコフスキー時空 （擬ユークリッド空間） 　[デカルト座標]
ローレンツ（逆）変換