一般相対性理論4 [ブラックホール編]

物理学

本稿は一般相対性理論3 [重力方程式編]から続いての解説となる。重力方程式を解き、シュバルツシルト解を得てブラックホールがどのように記述されるかを解説る。引き続き数式処理 (CAS) を使ってブラックホールの構造等を視覚化を行い、数式の示すものを実感できるように心がける。

=== 注意:以下執筆中のため誤記多数 ===

4.1 シュバルツシルト解

質量mの静的でかつ球対称な天体を想定し、その天体の周りがどのような時空となるか4次元擬リーマン時空で線素を頼りに考察する。線素が存在するとする時空において[x0]は時間軸で[x1,x2,x3]は3次元の空間軸とする。ただ空間はデカルト座標より極座標を使う方が都合がよい。そこで解析する上では、空間は原点にその恒星を置いた極座標[r,θ,φ]で表し、さらに時間軸[x0]を加えて4次元時空X:[x0, r,θ,φ]としよう。

この系Xは恒星の重力が無視できる程度、十分離れた時空周りはミンコフスキー時空として扱える。しかし原点周辺の計量には天体の質量で歪んだ偽リーマン空間が表現されているはずだ。

静的であるという条件により時間対称、つまり時間の符号を入れ替えても同じ計量とな必要があり、g00を除く第1行、および第1列はすべて0である必要がある。残りの空間軸に対しても球対称であるため同様のことが言え、結局対角成分以外はすべて”0”となる。

\[\small g_{ij}=\left(\begin{array}{c} g_{00}(r) & 0 & 0 & 0\\ 0 & -g_{11}(r) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^2 \sin(\theta)^2 \end{array}\right) \]

計量は原点からの距離の未知関数となり、時間軸はg00(r)、空間軸はg11(r)が他の空間次元を代表する。

この計量を使って恒星の外側(つまり物質が存在しない領域:Tij=0)の空間を想定して以下 (Eq3.3-7) を解く。

\[\small G^{ij}=R^{ij}-\frac{ 1}{ 2}g^{ij}R=0 \]

手で計算するのは手間なので計算機の数式処理にたよろう。以下 G00、G11、G22、G33はGijの対角成分であり、他は0となっている。(詳細は ”[CAS-Lab 相対性理論] ブラックホールをあなたの手の上に [未公開]” で述べる。興味のある方は公開後ぜひ参照されたい。以下はMaximaを使った)

比較的に単純な数式となっている第1式、第2式に注目しよう。この2つの式だけでg00(r)、g11(r)について解けそうだ。

まず第1行目をG00=0と置いてg11(r)に関して微分方程式を解く。数式処理曰く以下の通りだそうだ。

これは真値の解にすると以下の様に未定定数 a を含む式となり

g11を得る。

次に第1式と第2式を、G00(r)=G11(r) と結んで g00(r) に関して解くと

未定定数 a、b を含む式g00を得る。

以上、数式処理により少々計算を手抜きしたが、以下の様に計量の未知の関数を埋めることができた。

\[\small g_{ij}=\left(\begin{array}{c} b-\large \frac{b}{a r}& 0 & 0 & 0\\ 0 & -\frac{\large a r}{\large a r-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^2 \sin(\theta)^2 \end{array}\right) \]

後は未定定数 a、b をニュートンの重力理論 “落下距離=gt2/2” との対比で求めればよい。

x1に沿って地上から高さhの点より自由落下するエレベータを考える。

地上の観測系をx:[x0,x1,x2,x3] 、エレベータ内の落下系をX:[X0,X1,X2,X3]とする。

x → X系の局所的な変換となるが以下の通り。

\[\small \begin{cases} X^0=x^0\\\small X^1=x^1+\large \frac{g (x^0)^2}{2 c^2}\small-h\\\small X^2=x^2\\\small X^3=x^3 \end{cases} \]

x0=ctであるためt=x0/cとなる。gは重力加速度。この局所的な計量を計算すると

\[\small \left(\begin{array}{c} 1-\frac{\large g^2 (x^0)^2}{\large c^4} &-\frac{\large g x^0}{\large c^2}& 0 & 0\\ -\frac{\large g x^0}{\large c^2} & -1& 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \]

重力ポテンシャルφ=g(x1-h)、鉛直方向の空間軸x1と時間軸x0関係

\[\small x^1=h- \frac{1}{2}\small g\left(\frac{x^0}{c}\right)^2 \]

を使って

\[\small \phi=-\frac{g^2 (x^0)^2}{2 c^2}\\\small \downarrow\\\small (x^0)^2=-\frac{2 \phi {{c}^{2}}}{{{g}^{2}}}\\\small \downarrow\\\small =1-\frac{2 G M}{{{c}^{2}} r} \]

g00を対比してみる。

\[\small 1-\frac{2 G M}{c^2 r} \space :\space b-\frac{b}{a r} \]

ここでb=1 と置いて、

\[\small a=\frac{c^2}{2 G M} \]

とすると両辺は整合する。この a、bで計量を書き換えると

\[\small g_{ij}=\left(\begin{array}{c} 1-\frac{2 G M}{\large c^2 r} & 0 & 0 & 0\\ 0 & -\frac{\large 1}{\large 1- \frac{2 G M}{\large c^2 r}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^2 \sin(\theta)^2 \end{array}\right) \]

これにより以下の線素を得る。

\[\small ds^2=\left(1-\frac{2 G M}{\large c^2 r}\right)d(ct)^2 +\left(1-\frac{2 G M}{\large c^2 r}\right)^{-1}dr^2\\\small +r^2 d\theta^2+r^2 sin^2(\theta)\quad\quad\quad\quad\quad\quad \]

シュバルツシルト解の形状

第1項には時間に係る線素が0となるr上の点が存在する。これを無限の赤方偏移(redshift)と言う。

太陽の質量相当のM=2.0×1033[g] 、万有引力定数G=6.7×10-14[m3/gS2] 、光速c=3.0×108[m/S]としてg00が0になるrを求めと。

r=2,977 [m]

第2項に空間に係る線素が発散する点である。これを事象の地平面と言う。同様に求めてみよう。g11(つまりのg11の逆数)が0になるrを求めれば良いので、

r=2,977 [m]

となる。この様に無限の赤方偏移と事象の地平面は両方同じ動径 r の位置に存在り、この r をシュバルツシルトの半径という。この点というか面では、線素の式からわかる通り、時間軸ctに掛かる係数が0となり、内側からの光が外に向かったとしても振動数がゼロ、つまりエネルギーが尽きてしまい、表に出てこれなくなる。これがブラックホールの所以だ。これ等の面をプロットすると

無限の赤方偏移面と事象の地平面を縦に半分に切った図となる。中心が分かる様に小さな点を表示している。

太陽クラスの恒星の場合は無限の赤方偏移と事象の地平面は生じない。何らかの方法で恒星が3kmより圧縮されると無限の赤方偏移と事象の地平面が表に現れることになる。

カー解の形状

この球対称の天体が回転している場合、無限の赤方偏移と事象の地平面は異なってくる。その計量はカー解よばれ軸対称で定常的に回転するブラックホールの解としてロイ・カー(Roy Kerr)によって発見された。
無限の赤方偏移と事象の地平面はが異なる場合の例として、それらをプロットしてみよう。

計量は以下の通り非対角成分を含む形をしている。(この計量を求めるのは入門の範囲を超えるので参照するのみとしよう)

\[\small \begin{pmatrix}g_{00}\left( r\operatorname{,}\theta\right) & 0 & 0 & g_{03}\left( r\operatorname{,}\theta\right) \\ 0 & \operatorname{g_{11}}\left( r\operatorname{,}\theta\right) & 0 & 0\\ 0 & 0 &g_{22}\left( r\operatorname{,}\theta\right) & 0\\ \operatorname{g_{03}}\left( r\operatorname{,}\theta\right) & 0 & 0 & \operatorname{g_{33}}\left( r\operatorname{,}-\theta\right) \end{pmatrix}\]

各成分の詳細は

\[\small \operatorname{g_{00}}\left( r\operatorname{,}\theta\right) =\frac{{{r}^{2}}-2 m r+{{a}^{2}}}{{{a}^{2}} {{\cos{(\theta)}}^{2}}+{{r}^{2}}}-\frac{{{a}^{2}} {{\sin{(\theta)}}^{2}}}{{{a}^{2}} {{\cos{(\theta)}}^{2}}+{{r}^{2}}}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\space\space\space\\\small \operatorname{g_{03}}\left( r\operatorname{,}\theta\right) =\frac{a\, \left( {{r}^{2}}+{{a}^{2}}\right) {{\sin{(\theta)}}^{2}}}{{{a}^{2}} {{\cos{(\theta)}}^{2}}+{{r}^{2}}}+\frac{a\, \left( -{{r}^{2}}+2 m r-{{a}^{2}}\right) {{\sin{(\theta)}}^{2}}}{{{a}^{2}} {{\cos{(\theta)}}^{2}}+{{r}^{2}}}\space\\\small \operatorname{g_{11}}\left( r\operatorname{,}\theta\right) =\frac{-{{a}^{2}} {{\cos{(\theta)}}^{2}}-{{r}^{2}}}{{{r}^{2}}-2 m r+{{a}^{2}}}\quad \quad \quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\space\space\space\\\small \operatorname{g_{22}}\left( r\operatorname{,}\theta\right) =-{{a}^{2}} {{\cos{(\theta)}}^{2}}-{{r}^{2}}\quad \quad \quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\space\\\small \operatorname{g_{33}}\left( r\operatorname{,}\theta\right) =\frac{{{a}^{2}} \left( {{r}^{2}}-2 m r+{{a}^{2}}\right) {{\sin{(\theta)}}^{4}}}{{{a}^{2}} {{\cos{(\theta)}}^{2}}+{{r}^{2}}}-\frac{{{\left( {{r}^{2}}+{{a}^{2}}\right) }^{2}} {{\sin{(\theta)}}^{2}}}{{{a}^{2}} {{\cos{(\theta)}}^{2}}+{{r}^{2}}} \]

シュバルツシルト解と同様の手順で無限の赤方偏移

\[\small \begin{cases} r=m-\sqrt{{{a}^{2}} {{\sin{(\theta)}}^{2}}+{{m}^{2}}-{{a}^{2}}}\\\small r=\sqrt{{{a}^{2}} {{\sin{(\theta)}}^{2}}+{{m}^{2}}-{{a}^{2}}}+m \end{cases} \]

事象の地平面を求める。

\[\small \begin{cases} r=m-\sqrt{{{m}^{2}}-{{a}^{2}}}\\\small r=\sqrt{{{m}^{2}}-{{a}^{2}}}+m \end{cases} \]

両者二つの解を持っており、aは回転速度に関するパラメータである。a=0.99,m=1と置いて、これをプロットすると、

と入り組んだ複雑な構造をしている。

事象の地平面だけ抜き出すと

無限の赤方偏移面の方も2重になっている。

尚、aを0とすると回転が止まっている状態であり、m=M*G/c2,M=2.0E33と置くと太陽の場合のシュバルツシルト解と一致する。

続く >

参考文献

1 物理数学のためのMathematica ロバート・ジンマーマン/フレデリック・オルネス著 ピアソン・エデュケーション

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